Logik fragt in der Aufnahmeprüfung typisch: Folgt B aus A? Welche Aussage ist die Negation von X? Welche Menge entsteht durch Schnitt/Vereinigung? Kein Rechnen, dafür sauberes Denken.
Aussagen
Eine Aussage ist ein Satz, der wahr oder falsch ist. Beispiele:
- "5 ist eine Primzahl" → wahr
- "Wien liegt in Italien" → falsch
- "Wie spät ist es?" → keine Aussage (Frage)
- "x > 3" → keine Aussage (hängt von x ab, ist eine Aussageform)
Verknüpfungen
Mit Aussagen A und B bildet man neue Aussagen:
| Symbol | Sprechweise | Wahr, wenn |
|---|---|---|
| ¬A | nicht A | A falsch ist |
| A ∧ B | A und B | beide wahr |
| A ∨ B | A oder B | mindestens eine wahr (kein "entweder oder"!) |
| A ⇒ B | wenn A, dann B | A falsch ODER B wahr |
| A ⇔ B | A genau dann wenn B | beide wahr oder beide falsch |
Achtung Implikation A ⇒ B: ist nur falsch, wenn A wahr und B falsch ist. Aus etwas Falschem folgt alles ("ex falso quodlibet").
Beispiel: "Wenn es regnet, ist die Straße nass."
- Es regnet, Straße nass → Aussage wahr
- Es regnet, Straße trocken → Aussage falsch
- Es regnet nicht, Straße nass → Aussage trotzdem wahr
- Es regnet nicht, Straße trocken → Aussage wahr
Wahrheitstabelle
| A | B | ¬A | A∧B | A∨B | A⇒B | A⇔B |
|---|---|---|---|---|---|---|
| w | w | f | w | w | w | w |
| w | f | f | f | w | f | f |
| f | w | w | f | w | w | f |
| f | f | w | f | f | w | w |
Wichtige Regeln
De Morgan:
- ¬(A ∧ B) ⇔ ¬A ∨ ¬B
- ¬(A ∨ B) ⇔ ¬A ∧ ¬B
Kontraposition: A ⇒ B ist äquivalent zu ¬B ⇒ ¬A
- Nicht äquivalent zu: B ⇒ A (Umkehrung), ¬A ⇒ ¬B (Inversion)
Negation von Implikation: ¬(A ⇒ B) ⇔ A ∧ ¬B
Quantoren
- ∀ "für alle"
- ∃ "es existiert mindestens ein"
Negation der Quantoren:
- ¬(∀x: A(x)) ⇔ ∃x: ¬A(x) — "nicht alle X sind Y" heißt "es gibt mindestens ein X das nicht Y ist"
- ¬(∃x: A(x)) ⇔ ∀x: ¬A(x) — "es gibt kein X mit Y" heißt "alle X sind nicht Y"
Mengen
Eine Menge ist eine Sammlung verschiedener Objekte. Notation: M = {1, 2, 3}.
Elementbeziehung: 2 ∈ M, 5 ∉ M.
Teilmenge: A ⊆ B heißt "jedes Element von A ist auch in B".
Mengenoperationen
Mit A = {1, 2, 3}, B = {3, 4, 5}, Grundmenge G = {1, ..., 6}:
| Operation | Symbol | Ergebnis | Beispiel |
|---|---|---|---|
| Vereinigung | A ∪ B | alle Elemente aus A oder B | {1, 2, 3, 4, 5} |
| Schnitt | A ∩ B | gemeinsame Elemente | {3} |
| Differenz | A \ B | aus A ohne B-Anteil | {1, 2} |
| Komplement | A^c bzw. Ā | in G aber nicht in A | {4, 5, 6} |
De Morgan für Mengen:
- (A ∪ B)^c = A^c ∩ B^c
- (A ∩ B)^c = A^c ∪ B^c
Disjunkt: A ∩ B = ∅ (kein gemeinsames Element).
Typische Fallen
- "Oder" ist inklusiv: "A oder B" ist auch wahr wenn beide wahr sind. Das ausschließende "entweder oder" steht extra.
- Implikation vs Umkehrung: "Wenn A dann B" heißt nicht "Wenn B dann A". Beispiel: "Wenn es Hund ist, ist es Säugetier" — die Umkehrung ist falsch.
- Negation von "alle": ist nicht "keiner", sondern "mindestens einer nicht".
- A ⊆ A: jede Menge ist Teilmenge von sich selbst.
- Leere Menge ∅ ist Teilmenge jeder Menge.
Speed Tipps Aufnahmeprüfung
- Bei Implikations-Fragen: schreib dir A und B kurz auf, bilde Kontraposition mental
- Bei Mengen mit Mengendiagramm (Venn) zeichnen wenn unklar
- Bei "welche Aussage ist äquivalent zu X": jede Option in Wahrheitstabelle prüfen ist zu langsam — De Morgan + Kontraposition reichen meistens
- Bei Quantoren-Negation: Tausch ∀ ↔ ∃, negiere die Aussage dahinter